哥猜获证路非遥,说破人须失笑

1.哥德巴赫猜想的前世今生

每个大于4的偶数都是两个素数之和,即p+q=2n(p、q为奇素数,n为大于2的正整数)。这就是著名的哥德巴赫猜想,简称哥猜1+1”。哥猜获证的思想走进普罗大众的进程会非常漫长。

1920年,挪威数学家V.布朗采用逐渐靠近的方法,首先证明了“9+9”,后来的数学沿着这样的思路,取得了一系列的进展,但距离真正拿下哥猜相距甚远。

山东大学校长潘承洞曾证明了”1+4”。中科院院士王元曾证明了“2+3”。1966年陈景润证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和(简称“1+2”)。此事被国际数学界注意后,也引起了毛泽东主席和一批中央领导的重视。使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果被誉为“陈景润定理”。 但陈景润从未声称自己证明了“1+1”,而是证明了“1+2”,是哥猜的一个弱猜想。

2.哥德巴赫猜想的完美证明

凡事知其然,就一定能知其所以然。像这样的哥猜悬案,探索了几百年而无果的,只有费马猜想有的一拼,它们均出自十七至十八世纪的法国。哥猜名气大,可是名气大,是把双刃剑,即吸引了数学家去关心它,但也把一些高端数学人士吓走了。

为何会有这样的消极态度呢?因为碰到的大都是把命题变弱的哥猜论文,如陈景润的1+2,自称把哥猜原题拿下的很少。数学家都不想耽误时间,于是就分成了两大派,一是,知其难而退的人,会谢绝审读这样的论文,自己也不会花时间去研究;二是,知其难而想解决问题的人,因为自己没解决,故常会轻视同行的研究,尤其是社会地位不及自己的,更是不屑一顾,有这样的稿件过来都会弃之纸篓。

好的数学思想,要走科普的道路,我们寄希望于好学的数学工作者,有朝一日能看懂,寻找大咖认可极其困难。有意思的是数学发现者几乎都不约而同地选择了,顺其自然的科普方式,先让有缘人去阅读它,说不定哪天就能让数学大家看见。即便数学大咖没看见,有同行看懂就行。因此去中心化的思想是伟大的,它能让新生事物有一席之地,并能获得包容性成长。

如今哥猜证明出来了,但仅在小范围内科普。

如何将证明可以向大众讲清楚呢?

这么说吧,只要数学史学到希尔伯特那就可以理解哥猜证明了,哥猜是希尔伯特向新世纪的数学家提出的23个数学难题中的第八个问题,其实用希尔伯特的数学思想就足以证明哥猜。

所有的两奇素数相加都可以得到偶数,这个没问题,所有不小于8的偶数都能分割成两个不同的奇素数,这个就不好说,万一有一例外呢?好吧,那就假设有例外偶数是不能用两不同奇素数成功分割的。现在好了,所有不小于8的偶数就分成了两大部分,一是能够用两不同奇素数相加之和(或相减之差)表达的偶数,叫可表偶数,另一就是不能如此表达的,叫例外偶数。它们的并集是不小于8的全集偶数(先只讨论加法可表偶数,减法亦同,后文省略)。而小于8的偶数我们单个讨论,6可以3+3获得,但非不同的奇素数,4可以2+2获得,也非不同的奇素数,且还是偶素数,2可以1+1获得,但1即不是素数也不是合数。所以我们仅从8开始讨论所有偶数。

现证明如下:

2.1.把任意整数分割为两个不同整数的三元方程化约为互素方程.

所有大于3的 等量连接都可以用不等量连接来优化构造 。等量连接 和不等量连接之间 的转换关系是理解万物的枢纽。

对整数c进行不等量二元分割,便产生了较大的a与较小的b,于是有了三元方程a+b=c,分割后有四种组合,偶+偶=偶,奇+偶=奇,奇+奇=偶,偶+奇=奇,化约该方程,得到奇+奇=偶,或奇+偶=奇,移项得到奇-奇=偶,即两类情形,其中三元互素。故整数分割方程的通解就是两互素的奇数之和等于2n,或两互素的奇数之差等于2n。两个方程都能得到偶数通解和奇数通解。于是讨论偶数分割就解决了整数分割。

每一个偶数都能成功地分割为两个互素奇数之和或两个互素奇数之差。保证了原分割方程2n的本原解解集也是偶数全集 。即ap+bq=2n或ap-bq=2n,其中p、q属于所有奇素数,n 属于大于3的所有自然数 ,a、b属于所有自然数,a=1,p>bq时,大于等于8的每个偶数2n至少各有一组互素奇数的分割解。

本原解方程的表达虽没有唯一性,但表达本原解的全集方程具有唯一性。重要的话,不怕再啰嗦一句:不小于8的全体偶数都可以分割成互素的奇数之和。这是偶数分割方程的本原解方程,也就是说,偶数分割方程的通解方程与偶数分割方程的本原解方程,存在着一一对应的关系,偶数的通解表达式可以线性映射到偶数的本原解表达式上。

得到这个结论是非常重要的,虽然这个结论用陈景润定理也可以推理出来,但仅在充分大的前提下推得,不像本文推得的结论,是在不小于8的偶数范围里成立的,因此本文推理得到的结论更强。这意味着每个偶数都可以分割成互素的两部分,踏上了最后能分割成两互素的奇素数之和的道路。不等量分割是从加性的角度寻找素数的方法,这个思想非常重要。

2.2.再把全集偶数2n分割得到的本原解方程化约为简单本原解方程.

由于本原解三元方程,大家都比较熟悉,上文没有对本原解三元方程的定义加以说明,这里补充说明下,整系数三元互素的方程就是本原解三元方程,而有公因子或公因式的整系数三元方程就是通解三元方程。2.1证明了,三元通解方程与三元本原解方程是同构表达不小于8的全体偶数的。

重要的话,不怕再啰嗦,特此声明:不小于8的全集偶数都有且必有简单本原解,经线性映射而得到。

2.3.例外偶数2m’不存在最简本原解,无互素对之和可表2倍素数.

根据全集偶数是一定有简单本原解的判定,可知2m’也一定存在2m’/c=p±q或2m’c=p±q,如此这般的简单本原解,其中2m’c或2m’/c必须属于2m’, 因为作为任意偶数2n除以c或乘以c后得到2m是一定有简单本原解的,但2m’作为非可表偶数,没有简单本原解,其除以c或乘以c后所得到的2m’的子集也就肯定没有简单本原解 。因为通解是简单本原解的充分条件,是单同态的,简单本原解是通解的必要条件,是满同态的,两者是单满射的同构关系。例外偶数作为通解没有本原解是可表偶数,也没有简单本原解是可表偶数。例外偶数的定义是,偶数中的非可表偶数,叫例外偶数,2n = 2m∪2m’ ,2m∩2m’= Ø 。思考可表偶数与例外偶数是解决哥猜问题的关键。

可表偶数关联定理:偶数通解解集确定的三元方程有且仅有相应数乘线性映射而确定的偶数简单本原解解集.

2.4. 例外偶数2 m’ 的简单本原解解集是空集,其通解解集也是空集.

有了以上概念,就可以理解以下关键证明了。

既然例外偶数2m’是自定义选择了怎么也没有简单本原解,它通过内积逆运算也就无法获得唯一最简本原解,即形如方程p+q=2w或p-q=2w的解集,就是最简本原解,其中p、q、w皆为奇素数全集,它的数乘也就自然没有简单本原解,即形如可表偶数定义方程p+q=2m或p-q=2m的解集,就是简单本原解,其中三元皆含奇素数因子全集。例外偶数的最简本原解、简单本原解以及本原解也就依次不存在。既然例外偶数的本原解不存在,那么例外偶数的通解也就不存在。而一旦有解,就会与例外偶数的定义发生矛盾。既然例外偶数2m’没有简单本原解, 2m’≠ p-q, 或者2m’≠ p+q,那么例外偶数的原分割方程也就没任何解 。因为原方程所有解都是简单本原解(素数基础解系)的数乘或内积, 最简本原解是空集,它的数乘或内积也必是空集 ,例外偶数的通解必是空集 。

除了可表偶数的数乘封闭外,其实还可以从另一角度即可表偶数的二元加法封闭,以此来证明例外偶数是空集。

在可表偶数加可表偶数的本原解方程a+b=c中,无穷素数因子项进行三元分配,根据鸽笼原理,必有一因子项,在持续新增素数,可设置在a、b某一项中,根据本原解方程互素关系,c中的素数因子就不可能大于a、b中的较大素数因子,而方程每次a中的最大素因子皆小于b和c中的最大素因子。把较大素数因子设置在c中也一样。

由于a、b囊括了所有的奇素数因子(前文已证),我们可合理构造b解集为持续新增素数的连续素因子项Πpi(i=1到n),且从 p1到pn 的素数因子都每次密集无漏到场,a解集则不需要,那么a、c的素数因子就在pi(i<k)内,a是c-Πpi所得到的数,又因为 b、c 每次若互素则互域,b、c解集之间若互域则同素 ,三元之间从生成元上看,没交互同域过一回,必有一方解集始终没有同域,所以c就没法获得素数pi(i≥1)因子 。另外, c-Πpi、Πpi本原解无法互素,也就是a、b无法互素。即

Πpi(i=1到n)+p(i+1)=c(其中的素因子除2外皆大于p(i+1))

与可表偶数互域的c中例外偶数根据定义可知非本原解,也非最简本原解,故构造它的素因子必与左边的素因子值首先互域,而最简本原解方程每次互域时都不会产生公共素因子,故累计与密集递增的素因子项也不会有公共素因子,满足传递性无限互素。

c中例外偶数的本原解若真存在的话,减去Πpi是一定有互素的差值解的,但一次互素解都没有。c中例外偶数的素因子要么总被b中的连续素因子所囊括,这与本原解方程性质矛盾,要么与可表偶数中的所有素因子完全重合,没有例外性,故解集a、b与解集c若互域则同素是假命题。把新增素数设置在c中也一样,同理可证明, c-Πpi 、 Πpi 无法互素,也就是a、b无法互素 。a中的素因子在b中的连续素因子中 ,且a、b不能获得所有的奇素数。这与条件要求矛盾,故左右互域时,c为素数因子空集。

故方程若左右互域则左右互素是真命题。这就导致了例外偶数是空集,哥猜得证。

例外偶数是可表偶数的补集,通常理解为彼此独立,其反直觉的是,它还必须是可表偶数的数乘,它还必须满足可表偶数的二元加法运算,正是因为在这一点上有主和次的紧密牵扯,不等量分割才给万物之间留下了秩序关联。

3.哥德巴赫猜想的延伸意义

数学的魅力在于它能给人带来思想的自由。数学的本质是自由,这是康托尔说的话。假如一个问题的解决丝毫不能引起人类的审美愉悦,我们就不会继续探索,假如这个问题对我们探索未知世界毫无帮助,我们就会认为它没有价值,假如这件事情不能唤醒良知,钟情和立场就无法验证。数学的无用,只因它超级有用,如果是真的无用,早已弃之如敝履。

如果一个猜想仅仅是个会下金蛋的母鸡,专刺激数学新工具的产生,本身命题没有多大意义,那么这个猜想也不会有多大的挑战性。好的数学猜想,一定是一个通往新领域的桥梁,只有把猜想变成了定理了,才能畅通无阻地进入新领域开拓。哥猜问题的解决可以多米诺骨牌式地解决一大堆丢潘图数论问题。

哥猜获证绝非孤证,尤其是互素型哥猜,它可证明系列数论猜想.

哥德巴赫猜想发现了一个趋于简洁的优美世界,是通往最优化选择的桥梁,人们持久地爱好它,是因为如果没有这种简单,人们就会丧失对更深刻问题的信念——因为复杂是来自对简单的有序理解。假如哥德巴赫猜想是错误的,它将限制我们的观察能力。使我们难以跨越一些问题并无法欣赏。一个问题把它无序的一面强加给我们的内心生活,就会使我们的感受趋向丑陋,引起自卑和伤感。如果复杂世界不能连接简单,人类的孤独就会变成绝望。

而完成哥猜的证明,是一个分水岭,因为素数这个具有生命灵性的对象,同以往的所有的数学对象都不同,它不可能用有限的多项式完成一劳永逸的表达,于是它就不可能有相应的普遍通项公式;但不能因为此,人类就不能用思想捕捉到它的本质。素数构造方程仍然是存在的,它是一个可持续的迭代函数,通过它我们可以捕捉到后继素数。用普遍通项公式抓住事物本质的数学时代已经过去了,用持续迭代公式抓住事物本质的数学时代来临。普世性让位传世性的哲学思想将开始冲撞我们的认知。最后感慨之余赋诗一首:“数星数月数尽沙,思古思今思念它。哥猜确已被破解,不信可去问欧拉”。

本文作者简介:

罗莫,深圳市数学科普学会秘书长,深圳公共管理教育学院青年教师,学术委员会专家委员,深圳市公务员国学课程授课老师。文化部入库创意人才,硕士。曾任《深圳商报》责编,《金融与科技》执行主编,《生周刊》总编辑。代数数论研究学者。近年来在国家省级学术期刊上发表了《用重合法可证明哥德巴赫猜想原题》,《用河图洛书原理破解了考拉兹猜想》,《费马猜想及其推广(比尔猜想)的简洁证明》。此外还相继证明了许多世界未解数论猜想,目前正接受国际数论权威的审读检验。《深圳基础理论原创文集》收录了他4篇有关数论方面的学术论文,2017年5月已由海天出版社出版。

【主要研究方向】

1、加性数论

2、格网图论

【主要学术论文】

1、《用河图洛书原理破解了考拉兹猜想》, 数学学习与研究,2012(11).

2、《费马猜想及其推广(比尔猜想)的简洁证明》,数学学习与研究,2015(15).

3、《用重合法可证明哥德巴赫猜想原题》,数学学习与研究,2013(3).

4、《用重合法和相邻论可严密证明哥德巴赫猜想原题和相关猜想》,海天出版社,2017.

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